\section{Ejercicio N 4}

Teniendo en cuenta el ejercicio 2, considerar todas las suposiciones anteriores, excepto que si hay tres Clientes en el taller, cualquier otro cliente que llegue se retirará.
Determinar entonces:
\begin{enumerate}
\item La probabilidad de que el taller esté vacío.
\item La probabilidad de que tres clientes estén en el taller.
\item La probabilidad de encontrar por lo menos un cliente en el taller.
\item El número promedio de clientes en el taller.
\item El tiempo promedio que un cliente debe permanecer en el taller.
\item El número promedio de clientes que esperan ser atendidos.
\item El tiempo promedio que un cliente debe esperar para ser atendido.
\item La cantidad promedio de clientes que se retiran sin ser atendidos.
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $ \lambda = 4\: \,  \frac{clientes}{hora} $ (distribución Poisson)
  \item $T_{s}  = 6\: \,  \frac{minuto}{clientes} \Rightarrow \mu = 10 \: \,  \frac{clientes}{hora}$ (distribución exponencial)
  \item Cola máxima de dos personas
\end{itemize}
\newcommand{\variableLambda}{4}
\newcommand{\variableMu}{10}
\newcommand{\variableRho}{{2 \over 5}}
\newcommand{\variableTs}{{1\over10}}

\[PI =  \left\{ \begin{array}{lcr}
    1 & \mbox{si} & n < 3  \\
      &           &        \\
    0 & \mbox{si} & n \geq 3 \\
      \end{array}
      \right. \]

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $P(n=0)$
  \item $P(n=3)$
  \item $P(n\geq1)$
  \item $L$
  \item $W$
  \item $L_{c}$
  \item $W_{c}$    
  \item $R$

\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

En conclusión, es un P/P/1 con impaciencia

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio04}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 4}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion

\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$ & $\mu_{n}$ & $L$ & $L_c$ & $H$ & $R$       \\ \hline
0   & P(0)   & $\lambda$ & 0     & 0   & 0     & 0   & 0         \\
1   & P(1)   & $\lambda$ & $\mu$ & 1   & 0     & 1   & 0         \\
2   & P(2)   & $\lambda$ & $\mu$ & 2   & 1     & 1   & 0         \\
3   & P(3)   & 0         & $\mu$ & 3   & 2     & 1   & $\lambda$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

$P(n) = \frac{\lambda_{n-1}*P(n-1)}{\mu} $
\\

$P(1) = \frac{\lambda_0*P(0)}{\mu_1} = \frac{\lambda*P(0)}{\mu} = \rho*P(0)$
\\

$P(2) = \frac{\lambda_1*P(1)}{\mu_2} = \frac{\lambda}{\mu}*P(1) = \rho*\rho*P(0) = \rho^2*P(0)$
\\

$P(3) = \frac{\lambda_2*P(2)}{\mu_3} = \frac{\lambda}{\mu}*P(2) = \rho*\rho^2*P(0) = \rho^3*P(0)$
\\

$\sum_{n=0}^{3}P(n) = 1$ 
\\

$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1$
\\

$P(0) + \rho*P(0) + \rho^2*P(0) + \rho^3*P(0) = 1$
\\

$P(0)*(1 + \rho + \rho^2 + \rho^3) = 1$
\\

$P(0) = \frac{1}{1 + \rho + \rho^2 + \rho^3}$

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]

\item \[ P(0) = \frac{1}{1+\variableRho+(\variableRho)^2+(\variableRho)^3} \]
\newcommand{\variablePcero}{{125 \over 203}}
\[\boxed{P(0) = \variablePcero \approx 0,62}\]

\item \[ P(3) = \rho^3*P(0) = \left(\variableRho\right)^3*\variablePcero \]
\[\boxed{P(3) = \frac{8}{203} \approx 0,04}\]
\item \[ P(n \geq 1) = 1 - P(0) = 1 - \variablePcero \]
\[ \boxed{P(n \geq 1)=\frac{78}{203} \approx 0,38 }\]
\item
\[ L = L_0*P(0) + L_1*P(1) + L_2*P(2) + L_3*P(3) \]
\[ L = 0*P(0) + 1*P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) \]
\[ L = 0 + P(1) + 2*P(2) + 3*P(3)\]
\[ L = \rho*P(0) + 2*\rho^2*P(0) + 3*\rho^3*P(0)\]
\[ L = \variableRho*\variablePcero + 2*\left(\variableRho\right)^2*\variablePcero+3*\left(\variableRho\right)^3*\variablePcero\]
\[ L = \frac{50}{203} + \frac{40}{203} + \frac{24}{203} \]
\newcommand{\variableL}{{114 \over 203}}
\[ \boxed{L = \variableL \: \,(cliente) \approx 0,56 \: \,(cliente) }\]

\item

\[ W = W_c + Ts \]
\[ W_c = \frac{\,\,\,L_c\,\,\,}{\overline{\lambda}} \]
\[ L_c = 0.P(0) + 0*P(1) + 1*P(2) + 2*P(3) \]
\[L_c = P(2) + 2*P(3) = \rho^2*P(0) + 2*\rho^3*P(0)\]
\[L_c = \left(2 \over 5 \right)^2*{\variablePcero} + 2*\left(2\over5\right)^3*{\variablePcero}\]
\[L_c = {4\over 25}*{\variablePcero} + 2*{8\over125}*{\variablePcero} = {20\over203} + {16\over203} \]
\newcommand{\variableLc}{36 \over 203}
\[\boxed{L_c = {\variableLc} \: \,(cliente) \approx 0,18 \: \,(cliente) }\]

\[ \overline{\lambda} = \lambda*P(0) + \lambda*P(1) + \lambda*P(2) + 0*P(3)\]
\[ \overline{\lambda} = \lambda*(P(0) + P(1) + P(2)) = \lambda*(1 - P(3))\]
\[ \overline{\lambda} = \variableLambda * (1 - (\rho^3*P(0))) = {\variableLambda}*(1 - (\left({2\over5}\right)^3*{\variablePcero})\]
\[ \overline{\lambda} = {\variableLambda}*(1-{8\over203}) = {\variableLambda}*{195\over203}\]
\newcommand{\variableLambdaraya}{{780\over203} \: \,{cliente \over hora } }
\[ \boxed{\overline{\lambda} = \variableLambdaraya \approx 3,84 \: \, {cliente \over hora } }\]

\[W_c ={ {\variableLc} \over \variableLambdaraya }\] 
\newcommand{\variableWc}{3 \over 65}
\[\boxed{W_c = {\variableWc}\: \, {hora \over  cliente} \approx 0,046\: \, {hora \over  cliente}}\]

\[W = W_c + Ts = {\variableWc} + \variableTs\]
\newcommand{\variableW}{19\over130}
\[\boxed{W = {\variableW}\: \, {hora \over cliente} \approx 0,146 \: \, {hora \over cliente}}\]

\item El numero promedio de los clientes esperan ser atendido es $L_c$ (Calculado en el punto anterior)

$$ \boxed{L_c = {\variableLc} \: \,(cliente) \approx 0,18 \: \,(cliente)} $$

\item El tiempo promedio que los clientes esperan ser atendidos es $W_c$ y también ya fue calculado en el punto anterior

$$ \boxed{W_c = {\variableWc}\: \, {hora \over  cliente} \approx 0,046\: \, {hora \over  cliente}} $$

\item La cantidad promedio de clientes que se retiran sin ser atendidos es R

$$ R = R_0 *P(0) + R_1*P(1) + R_2*P(2) + R_3*P(3) $$
$$ R = 0 * P(0) + 0 * P(1) + 0 * P(2) + \lambda*P(3) $$
$$ R = \lambda*\rho^3*P(0) = {\variableLambda}*\left({2\over5}\right)^3*\variablePcero = {\variableLambda}*{8\over125}*\variablePcero$$
\newcommand{\variableR}{{32\over203}}
$$ \boxed{R=\variableR\: \, {cliente \over hora  } \approx 0,158\: \, {cliente \over  hora}}$$

\end{enumerate}
